之前一直困惑于IRT模型的项目信息函数的含义。看了李政轩老师的Item and Test Information Function视频，总算搞清楚了。这里做一个简要的记录。
基本的IRT相关的知识，可以参考维基百科-IRT。
假设已知abc$\theta$四个参数的值，那么就可以计算出用户做此题正确的概率$\bar{P}$。
根据这个正确概率进行n次模拟，模拟过程如下，随机产生一个0-1的数，小于$\bar{P}$代表做对，大于代表做错。
根据模拟得到的n次做答记录，对$\theta$进行极大似然估计，可以求出一个$\hat{\theta}$。
将上述过程重复m次，那么就可以得到m个$\hat{\theta}$的值。
观察m个$\hat{\theta}$的均值和标准差SE。显然其均值应很接近真实的能力$\theta$，因为模拟的依据就是$\theta$。
观察SE可以得到两个结论，$\theta$和b越接近，SE越小，a越大，SE越小。
这两个观察出的结论非常重要，它实际告诉了我们衡量一道题目和一个用户的匹配程度的简单方法，就是看SE，SE越小，越匹配。
厉害的是，SE竟然是有解析解的，公式如下：
\[\frac{1}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{{P_i^{'}(\theta)}^2}{P_i(\theta)(1-P_i(\theta))}}}\]这是对n次模拟来说的SE，观察这个解析式，可以发现，要SE越小，相当于让每道题的：
\[\frac{{P_i^{'}(\theta)}^2}{P_i(\theta)(1-P_i(\theta))}\]这个值越大。
而这个值，就是项目信息函数。
对该项目信息函数还可以进一步求出上面的导数化简，得到：
\[a_i^2P_i(\theta)(1-P_i(\theta))\]这个公式的含义更加清晰。